题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(8,0)、点B(0,4),点C、D分别是边OA、AB的中点.将△ACD绕点A顺时针方向旋转,得△AC′D′,记旋转角为α.

(I)如图,连接BD′,当BD′∥OA时,求点D′的坐标;

(II)如图,当α=60°时,求点C′的坐标;

(III)当点B,D′,C′共线时,求点C的坐标(直接写出结果即可).

【答案】(I)(10,4)或(6,4)(II)C′(6,2)(III)①C′(8,4)②

C′(,﹣

【解析】

(I)如图①,当OBAC′,四边形OBC′A是平行四边形,只要证明B、C′、D′共线即可解决问题,再根据对称性确定D″的坐标;

(II)如图②,当α=60°时,作C′KACK.解直角三角形求出OK,C′K即可解决问题;

(III)分两种情形分别求解即可解决问题;

:(I)如图①

A(8,0),B(0,4),

OB=4,OA=8,

AC=OC=AC′=4,

∴当OBAC′,四边形OBC′A是平行四边形,

∵∠AOB=90°,

∴四边形OBC′A是矩形,

∴∠AC′B=90°,∵∠AC′D′=90°,

B、C′、D′共线,

BD′OA,

AC=CO, BD=AD,

CD=C′D′=OB=2,

D′(10,4),

根据对称性可知,点D″在线段BC′上时,D″(6,4)也满足条件.

综上所述,满足条件的点D坐标(10,4)或(6,4).

(II)如图②,当α=60°时,作C′KACK.

RtAC′K中,∵∠KAC′=60°,AC′=4,

AK=2,C′K=2

OK=6,

C′(6,2).

(III)①如图③中,当B、C′、D′共线时,由(Ⅰ)可知,C′(8,4).

②如图④中,当B、C′、D′共线时,BD′OAF,易证BOF≌△AC′F,

OF=FC′,设OF=FC′=x,

RtABC′中,BC′==8,

RTBOF中,OB=4,OF=x,BF=8﹣x,

(8﹣x)2=42+x2

解得x=3,

OF=FC′=3,BF=5,作C′KOAK,

OBKC′,

==

==

KC′=,KF=

OK=

C′(,﹣).

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