Question

【题目】材料：解形如（x+a）4+（x+b）4＝c的一元四次方程时，可以先求常数a和b的均值，然后设y＝x+．再把原方程换元求解，用种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法．

例：解方程：（x﹣2）4+（x﹣3）4＝1

解：因为﹣2和﹣3的均值为，所以，设y＝x﹣，原方程可化为（y+）4+（y﹣）4＝1，

去括号，得：（y2+y+）2+（y2﹣y+）2＝1

y4+y2++2y3+y2+y+y4+y2+﹣2y3+y2﹣y＝1

整理，得：2y4+3y2﹣ ＝0（成功地消去了未知数的奇次项）

解得：y2＝或y2＝（舍去）

所以y＝±，即x﹣＝±．所以x＝3或x＝2．

（1）用阅读材料中这种方法解关于x的方程（x+3）4+（x+5）4＝1130时，先求两个常数的均值为______．

设y＝x+____．原方程转化为：（y﹣_____）4+（y+_____）4＝1130．

（2）用这种方法解方程（x+1）4+（x+3）4＝706

Answer 1

【答案】（1）4，4，1，1；（2）x＝2或x＝﹣6．

【解析】

（1）可以先求常数3和5的均值4，然后设y＝x+4，原方程可化为（y﹣1）4+（y+1）4＝1130；

（2）可以先求常数1和3的均值2，然后设y＝x+2，原方程可化为（y﹣1）4+（y+1）4＝706，再整理化简求出y的值，最后求出x的值．

（1）因为3和5的均值为4，所以，设y＝x+4，原方程可化为（y﹣1）4+（y+1）4＝1130，

故答案为4，4，1，1；

（2）因为1和3的均值为2，所以，设y＝x+2，原方程可化为（y﹣1）4+（y+1）4＝706，

去括号，得：（y2﹣2y+1）2+（y2+2y+1）2＝706，

y4+4y2+1﹣4y3+2y2﹣4y+y4+4y2+1+4y3+2y2+4y＝706，

整理，得：2y4+12y2﹣704＝0（成功地消去了未知数的奇次项），

解得：y2＝16或y2＝﹣22（舍去）

所以y＝±4，即x+2＝±4．所以x＝2或x＝﹣6．