Question

18．已知抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}-x+4$，则：
（1）x取何值时，y随x增大而减小？
（2）x取何值时，抛物线在x轴上方？

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的性质，抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而减小，即可得出x的取值范围；
（2）令y=0，确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x的取值范围．

解答 解：（1）∵$y=-\frac{1}{2}{x^2}-x+4$，
∴抛物线对称轴是直线x=$\frac{1}{2×（-\frac{1}{2}）}$=-1，开口向下，
∴当x＞-1时，y随x增大而减小；

（2）当y=0时，即-$\frac{1}{2}$x²-x+4=0，
解得x₁=2，x₂=-4，
∵抛物线开口向下，
∴当-4＜x＜2时，抛物线在x轴上方．

点评 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），对称轴是直线x=-$\frac{b}{2a}$．当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；x=-$\frac{b}{2a}$时，y取得最小值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；x＞-$\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；x=-$\frac{b}{2a}$时，y取得最大值$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，即顶点是抛物线的最高点．也考查了抛物线与x轴的交点．