Question

19．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠AOD=60°，E为OA的中点，F为OB的中点，G为CD的中点，试判断△EFG的形状并说明理由．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明∠OAD=∠ODA，得到AO=DO，结合∠AOD=60°，判断出△AOD为等边三角形，此为解题的关键性结论；其次证明DE⊥AC，运用直角三角形的性质证明EG=FG=$\frac{1}{2}CD$；运用三角形的中位线定理证明EF=$\frac{1}{2}$AB，结合AB=CD，得到EG=FG=EF，即可解决问题．

解答 解：△EFG为等边三角形；证明如下：
如图，连接DE、CF；
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD；
在△ABD与△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{AD=DA}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠OAD=∠ODA，AO=DO；而∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，AD=OD；
∵AE=OE，
∴DE⊥AO，△CDE为直角三角形，
∵DG=CG，
∴EG=$\frac{1}{2}$CD；同理可求：FG=$\frac{1}{2}$CD；
∵E为OA的中点，F为OB的中点，
∴EF为△OAB的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB；而AB=CD，
∴EG=FG=EF，
∴△EFG为等边三角形．

点评 该题主要考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定、三角形的中位线定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定、三角形的中位线定理等几何知识点来分析、判断、解答．