Question

14．已知：在?ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，点G为CD上的中点，
（1）若CG=2，AE=3，求BE的长；
（2）求证：∠CEG=$\frac{1}{2}$∠AGE．

Answer 1

分析 （1）首先求出DC=AB=4，根据勾股定理求出BE即可；
（2）过G作GM⊥AE于M，利用平行线分线段成比例定理，求出M为AE中点，得出等腰三角形AGE，根据性质得出GM是∠AGE的角平分线，即可得出答案．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵点G为CD的中点，CG=2，
∴DC=AB=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$；

（2）证明：过G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，GM⊥AE，
∴GM∥BC∥AD，
∴CG=DG，
∴AM=ME（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等），
∵GM⊥AE，
∴AG=EG，
∴∠AGM=∠EGM，
∴∠AGE=2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM=∠CEG，
∴∠CEG=$\frac{1}{2}$∠AGE．

点评 本题考查了平行四边形性质、等腰三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识点的应用，得出AG=EG是解题关键．