Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC边的中线，点E、F分别是AB、AC的中点，连接DE、DF．
（1）求证：△AED是等边三角形；
（2）若AB=2，则四边形AEDF的周长是4．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，AD⊥BC，根据直角三角形的性质得到AD=$\frac{1}{2}$AB，于是得到结论；
（2）根据菱形的判定得到四边形AEDF是菱形，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠BAD=60°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=AD，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：由（1）证得△ADE是等边三角形，同理△ADF是等边三角形，
∴AE=AF=AD=DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形，
∵AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴四边形AEDF的周长是4，
故答案为：4．

点评 本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．