Question

6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交⊙O于E，连接BE，BI．若IB平分∠ABC，EB=EI．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若BA=$\sqrt{5}$，OI⊥AD于I，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义及等腰三角形的性质，结合外角的性质可求得∠EBD=∠BAI，再利用同弧所对的圆周角相等可求得∠EBD=∠CAD，从而可证明∠BAI=∠CAD，即AE平分∠BAC；
（2）可先证明△BDI≌△BOI，可求得AB、AD、BD的长，分别在Rt△ABC和Rt△ACD中，可得到关于AC、CD的方程组，可求得CD的长．

解答 （1）证明：
∵EB=EI，
∴∠EBI=∠EIB，
∵IB平分∠ABC，
∴∠ABI=∠DBI，
又∠EBI=∠EBD+∠DBI，∠EIB=∠ABI+∠BAI，
∴∠EBD=∠BAI，
又∠EBD=∠CAD，
∴∠BAI=∠CAD，
即AE平分∠BAC；
（2）解：
∵OI⊥AD，AB为圆O直径，
∴∠OIA=∠E=90°，
∴OI∥BE，
∴∠OIB=∠EBI
∵EB=EI，
∴∠EBI=∠EIB，
∴∠OIB=∠DIB，
∵IB平分∠ABC，
∴∠ABI=∠DBI，
在△BDI和△BOI中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DIB=∠OIB}\\{BI=BI}\\{∠DBI=∠OBI}\end{array}\right.$
∴△BDI≌△BOI（ASA），
∴AO=BO=BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AB=2AO=$\sqrt{5}$
又AI=EI=EB，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB²=BE²+AE²，
即（$\sqrt{5}$）²=（2AI）²+AI²，解得AI=1，
∴OI=ID=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$AI=$\frac{1}{2}$，
∴AD=AI+DI=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AC²=AD²-CD²，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC²=AB²-BC²，
即$\left\{\begin{array}{l}{A{C}^{2}=（\frac{3}{2}）^{2}-C{D}^{2}}\\{A{C}^{2}=（\sqrt{5}）^{2}-（CD+\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}\end{array}\right.$，解得CD=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题主要考查圆的有关性质及其相关定理的综合应用，掌握等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定方法是解题的关键，特别注意方程思想的应用．