Question

20．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，两条平行直线a和b截△ABC如图所示，交点分别是D、E、F、G，直线b交直线BC于点H．
（1）如图1，请证明∠AED+∠BHF=90°
（2）如图2，∠AED和∠BHF的数量关系是∠AED+∠BHF=90°
（3）如图3，在（2）的条件下，沿直线a将△ADE翻折，A与A′对立，若直线A′E∥BC，求证：2∠B-∠A′DB=90°．

Answer 1

分析 （1）先由平行线的性质得出∠AED=∠AGF，进而得出∠AED=∠CGH，再利用直角三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据直角三角形的性质得出∠CGE+∠CEG=90°，再用平行线的性质和对顶角性质即可得出结论；
（3）先由平行线的性质得出∠AFE=∠B，再用三角形的外角得出∠AFE=∠A'+∠A'DB，再用折叠的性质和直角三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵a∥b，
∴∠AED=∠AGF，
∵∠AGF=∠CGH，
∴∠AED=∠CGH，
∵∠ACB=90°，
∴∠CGH+∠BH∠=90°，
∴∠AED+∠NHF=90°．
（2）∠AED+∠BHF=90°，
理由：如图2，延长BC，DE交于点G，

∵∠ACB=90°，
∴∠CGE+∠CEG=90°，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠AED+∠CGE=90°，
∵a∥b，
∴∠BHF=∠CGE，
∴∠AED+∠BHF=90°，
故答案为：∠AED+∠BHF=90°．
（3）如图3，

∵A′E∥BC，
∴∠AFE=∠B，
∵∠AFE=∠A'+∠A'DB，
∴∠B=∠A'+∠A'DB，
由折叠得，∠A'=∠A，
∴∠B=∠A+∠A'DB，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=90°-∠B+∠A'DB，
∴2∠B+∠A'DB=90°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角的性质，解本题的关键用三角形的外角得出∠AFE=∠A'+∠A'DB，是一道比较简单的中考常考题．