Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值

 

．

Answer 1

分析：解法一、平移对角线AC后，会构造出一个直角三角形，这个直角三角形的面积就等于原梯形的面积．该三角形的斜边为3+7=10，此时，它的高越大，面积就越大．解法二、过O作ON⊥AD于N，设ON=h，AO=a，DO=ka，求出△ANO∽△AOD，得出比例式，代入求出h=

ka2

3

，根据勾股定理得出a²+（ka）²=3²，求出a²=

9

1+k2

，推出h=

3k

1+k2

，只有当k=1时，即△AOD是等腰三角形时，h有最大值是1.5，同理求出△BOC边BC上的高的最大值式3.5，据梯形的面积公式代入求出即可，

解答：解：
解法一、过D作DE∥AC交BC延长线于E，
∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出△ABD的面积等于△DCE的面积，
即梯形ABCD的面积等于△BDE的面积，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴∠BDE=90°，BE=3+7=10，
∴此时△BDE的边BE边上的高越大，它的面积就越大，
即当高是

1

2

BE时最大，
即梯形的最大面积是

1

2

×10×

1

2

×10=25；

解法二、过O作ON⊥AD于N，
设ON=h，AO=a，DO=ka，
∵∠DAO=∠DAO，∠ANO=∠AOD=90°，
∴△ANO∽△AOD，
∴

ON

AO

=

DO

AD

，
∴

h

a

=

ka

3

∴h=

ka2

3

，
而在Rt△AOD中，由勾股定理得：a²+（ka）²=3²，
a²=

9

1+k2

，
∴h=

3k

1+k2

，
∵k＞0，
∴只有当k=1时，即△AOD是等腰三角形时，h有最大值是1.5，
同理求出△BOC边BC上的高的最大值式3.5，
∴梯形ABCD的面积的最大值是：S=

1

2

×（3+7）×（1.5+3.5）=25，
解故答案为：25．

点评：本题主要考查对梯形的性质，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，求出△AOD的边AD和△BOC的边BC上的最大值是解此题的关键．