Question

9．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，其对称轴是直线x=-1，给出下列结论：
①b²＞4ac；②abc＞0；③（a+c）²＞b²；④3a+c＞0，
其中，正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据抛物线与x轴交点的个数对①进行判断；
由抛物线开口方向得a＞0，由对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$＜0，可得到b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，于是可对②进行判断；
根据x=1时，y＞0，得到a+b+c＞0；根据x=-1时，y＜0，得到a-b+c＜0可对③进行判断；
根据对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1，得到2a-b=0再把b=2a代入a+b+c＞0则可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，即b²＞4ac＞，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵当x=1时，y＞0，得到a+b+c＞0；根据x=-1时，y＜0，得到a-b+c＜0，
∴（a+c）²-b²=（a+b+c）（a-b+c）＜0，
∴（a+c）²＞b²错误，所以③错误；
又∵对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴2a-b=0，
∴b=2a，
∵a+b+c＞0，
∴a+2b+c＞0，即3a+c＞0，所以④正确．
故选B．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-b2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．