Question

13．已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，过C作CF∥AB，过A，B分别向直线CF作垂线，垂足分别为F，E，过B作BG⊥AC于G．
（1）若AB=2$\sqrt{2}$时，求AF的长；
（2）求证：CF-CE=$\sqrt{2}$CG．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABG≌△ACF，推出推出CF=BG，只要求出BG即可解决问题．
（2）作CP∥BG交BE于P，作PH⊥BG于H，只要证明CF-CE=PB，PB=$\sqrt{2}$CG即可解决问题．

解答 （1）解：如图，∵AB∥EF，AF⊥EF，BG⊥AC，
∴∠AFC=∠AGB=∠BAF=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠FAC=45°，
在△ABG和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠CAF}\\{∠AGB=∠F}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACF，
∴CF=BG，
在Rt△ABG中，AB=2$\sqrt{2}$，
∴AG=BG=2，
CF=2．

（2）证明：作CP∥BG交BE于P，作PH⊥BG于H，
∵∠PBH=∠HPB=45°，∠CPE=∠GBE=45°，
∴∠HPC=∠PHG=∠HGC=90°，
∴四边形HGCP是矩形，
∴GC=PH，
∵∠CPE=∠PCE=45°，
∴PE=CE，
∵AF=BE=CF，
∴CF-CE=BE-PE=PB=$\sqrt{2}$PH=$\sqrt{2}$CG，
∴CF-CE=$\sqrt{2}$CG．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．