Question

7．在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为O（0，0）、B（12，0）、C（12，16），由三个观测点确定的圆形区域是“利剑-2016”中国多军种军事演习区，如图所示．
（1）求圆形区域的面积．
（2）某时刻海面上出现一艘可疑船A，在观测点O测得A位于北偏东45°方向上，同时在观测点B测得A位于北偏东30°方向上，求观测点B到可疑船A的距离（结果保留根号）；
（3）当可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行时，是否会进入演习区？请通过计算解释．

Answer 1

分析 （1）根据O，B，C的坐标，即可证明△OBC是直角三角形，则OC是直径，据此即可求解；
（2）在△OAB中，利用正弦定理即可求得AB的长；
（3）利用三角函数即可求得A点的纵坐标的值，与圆的半径比较大小即可判断．

解答 解：（1）由O（0，0），B（12，0），C（12，16）三点的坐标可知：OB⊥BC，即△OBC为直角三角形，
所以其外接圆的直径 2R=OC=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20，
即R=10，
故所求圆形区域的面积S=πR²=100π；

（2）由图可知，在△OAB中，∠AOB=90°-45°=45°，∠OBA=90°+30°=120°，OB=12，
则∠OAB=180°-45°-120°=15°，
根据正弦定理有$\frac{AB}{sin∠AOB}$=$\frac{OB}{sin∠OAB}$，
即$\frac{AB}{sin45°}$=$\frac{12}{sin15°}$，
解得AB=12（$\sqrt{3}$+1）；

（3）设A点的纵坐标为y，则
y=ABsin（180°-120°）=12（$\sqrt{3}$+1）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6（3+$\sqrt{3}$）＞2R，
因此当可疑船由（2）中的位置向正西方向航行时，不会进入演习区．

点评 本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确运用正弦定理求得AB的长，是解题的关键．