题目内容
6．在平面直角坐标系xOy中，A（m，0），B（m+4，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当45°≤∠APB≤90°时，称点P为线段AB的“半月点”．（1）若 m=2时，
①在点C（3，1 ），D（ 5，3 ），E（ 2，4 ）中，线段AB的“半月点”有D、E；
②在直线y=x+b上存在线段AB的“半月点”，求b的取值范围．
（2）请从下面两个问题中任选一个作答．
温馨提示：两题均答不重复计分．
问题一：直线y=-x+14与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段AB的所有“半月点”都在△MON内部，直接写出m的取值范围．
问题二：点G（3，-1），点P为线段AB的“半月点”，直线GP把线段AB分成1：3两部分，当m=1时，直接写出点P的横坐标的取值范围．
分析 （1）①如图画出“半月型”的图形即可判断；②当直线y=x+b经过点B（6，0）时，b=-6，当直线与$\widehat{AEB}$相切时，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{（x-4）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，消去y整理得到2x2+（2b-12）x+b2-4b+12=0，由题意△=0，可得b2+4b-12=0，解得b=2或-6，由此即可判断；
（2）问题一：易知“半月型”的大圆半径为2$\sqrt{2}$，小圆半径为2，当“半月型”与y轴相切时，m=2$\sqrt{2}$-2，当“半月型”与直线y=-x+14相切时，易知切点为（10，4），此时B（10，0），m=6，即可推出当$2\sqrt{2}-2$＜m＜6时，线段AB的所有“半月点”都在△MON内部．
问题二：如图3中，直线PG分线段AB三等分，①当直线PG经过Q（2，0）时，直线PG的解析式为y=-x+2，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$解得M（$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，解得H（$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$），可得点P的横坐标的范围为$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{5-\sqrt{7}}}{2}$．
②当直线PG经过F（4，0）时，同法可求；
解答 解：（1）①如图1中，观察图象可知，线段AB的“半月点”有D，E．
故答案为D、E．
②如图2中，
①当直线y=x+b经过点B（6，0）时，b=-6，
②当直线与$\widehat{AEB}$相切时，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{（x-4）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，消去y整理得到2x2+（2b-12）x+b2-4b+12=0，
由题意△=0，可得b2+4b-12=0，解得b=2或-6，
综上所述，在直线y=x+b上存在线段AB的“半月点”，b的取值范围为-6≤b≤2．
-6＜b≤2．
（3）问题1：易知“半月型”的大圆半径为2$\sqrt{2}$，小圆半径为2，
当“半月型”与y轴相切时，m=2$\sqrt{2}$-2，
当“半月型”与直线y=-x+14相切时，易知切点为（10，4），此时B（10，0），m=6，
∴当$2\sqrt{2}-2$＜m＜6时，线段AB的所有“半月点”都在△MON内部．
问题2：如图3中，
∵直线PG分线段AB三等分，
①当直线PG经过Q（2，0）时，
直线PG的解析式为y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$解得M（$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，解得H（$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$），
∴点P的横坐标的范围为$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{5-\sqrt{7}}}{2}$．
②当直线PG经过F（4，0）时，
直线PG的解析式为y=-x-4，同法可得点P的横坐标的取值范围为$\frac{{7+\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{9+\sqrt{7}}}{2}$，
综上所述，满足条件的点P的横坐标的取值范围为$\frac{{7+\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{9+\sqrt{7}}}{2}$，$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{5-\sqrt{7}}}{2}$．
点评 本题考查一次函数综合题、圆、一元二次方程组、根的判别式等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会用方程组解决有关交点问题，属于中考压轴题．
通城学典默写能手系列答案
某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（ ）| A． | 48° | B． | 40° | C． | 30° | D． | 24° |
| A． | 三角形三条边上中线的交点 | B． | 三角形三条边上高线的交点 | ||
| C． | 三角形三条边垂直平分线的交点 | D． | 三角形三条内角平分线的交点 |
①正多边形的每条边都相等； ②正多边形都是轴对称图形；
③正多边形的外角和是360°；④正多边形都是中心对称图形．
其中正确的描述是（ ）
| A． | ①②③ | B． | ①②④ | C． | ②③④ | D． | ①②③④ |
如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，则EF的最大值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{433}}{2}$ | B． | $\frac{25}{4}$ | C． | $\frac{25}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{433}}{4}$ |