Question

20．请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．
（1）探究1：如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A=70°，则∠BPC=125度；
（2）探究2：如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系？并说明理由．
（3）拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α．
①直接写出∠BPC与α的数量关系；
②根据α的值的情况，判断△BPC的形状（按角分类）．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质求出∠PBC+∠BCP的度数，由三角形内角和定理即可求出答案；
（2）根据角平分线的定义可得∠PCE=$\frac{1}{2}$∠BCE，∠PBD=$\frac{1}{2}$∠CBD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（3）①根据四边形的内角和定理表示出∠BAD+∠CDA，然后同理（2）解答即可；②根据α的值的情况，得到∠P的取值范围，即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，
∴∠PBC+∠BCP=55°，
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，
∴∠BPC=125°，
故答案为：125；

（2）∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
在△PBC中，∠P=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（3）如图3，
①延长BA、CD于Q，
则∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠Q，
∴∠Q=180°-2∠P，
∴∠BAD+∠CDA
=180°+∠Q
=180°+180°-2∠P
=360°-2∠P，
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}α$；
②当0＜α＜180时，△BPC是钝角三角形，
当α=180时，△BPC是直角三角形，
当α＞180时，△BPC是鋭角三角形．

点评 本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．