Question

13．对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=$\sqrt{3}$x-3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）或（$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 根据“伴侣矩形”的定义可知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与x轴和y轴两交点的坐标，和矩形的长和宽；
有两种情况：①矩形在x轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出DG和DH的长，从而求出CG的长，根据坐标特点写出点C的坐标；②矩形在x轴上方时，也分别过C、B两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出：C（$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

解答 解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，
根据直线l：y=$\sqrt{3}$x-3得：OM=$\sqrt{3}$，ON=3，
由勾股定理得：MN=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，
由cos∠ABD=cos∠ONM=$\frac{ON}{MN}$=$\frac{AB}{BD}$，
∴$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{AB}{2}$，AB=$\sqrt{3}$，则AD=1，
∵DG∥y轴，
∴△MDG∽△MNO，
∴$\frac{DG}{ON}=\frac{DM}{MN}$，
∴$\frac{DG}{3}=\frac{2-1}{2\sqrt{3}}$，
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
同理可得：$\frac{DH}{OM}=\frac{DN}{MN}$，
∴$\frac{DH}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$，
∴DH=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$，
∴C（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
②矩形在x轴上方时，同理可得：C（$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
故答案为：（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）或（$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．同时，正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键，这就需要熟练掌握矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等．