Question

13．已知关于x的方程x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2（x+$\frac{1}{x}$）=6，那么x+$\frac{1}{x}$的值为-4或2．．

Answer 1

分析 由于x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2，所以原方程可变形为（x+$\frac{1}{x}$）²+2（x+$\frac{1}{x}$）-8=0，把x+$\frac{1}{x}$看成一个整体，解关于（x+$\frac{1}{x}$）的二元一次方程求出它的根．

解答 解：x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2（x+$\frac{1}{x}$）=6，
所以x²+2+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2（x+$\frac{1}{x}$）-8=0，
即（x+$\frac{1}{x}$）²+2（x+$\frac{1}{x}$）-8=0，
设x+$\frac{1}{x}$=y，则原式变形为y²+2y-8=0
解得，y₁=-4，y₂=2．
所以x+$\frac{1}{x}$=-4或x+$\frac{1}{x}$=2．
故答案为：-4或2．

点评 本题考查了完全平方公式、换元法和十字相乘法，把x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$变形为（x+$\frac{1}{x}$）²-2，利用换元法是解决本题的关键．