Question

10．如图，AB⊥FB，AG⊥EG，垂足分别为B、G，且AB=AG，AE=AF，分别过点B，G作EF所在直线的垂线，垂足分别为C，D，若BC=DG，CF=4，则DE的长为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作辅助线构建全等三角形和矩形，先证明四边形CDGB为矩形，再证明△ABC≌△AGD和△CAE≌△DAF，得CE=DF，因此根据等式的性质得出CF=DE，则DE=4．

解答 解：如图1，连接BG、AC、AD，
∵BC⊥EF，DG⊥EF，
∴BC∥DG，∠BCD=90°，
∵BC=DG，
∴四边形CDGB为矩形，
∴∠CBG=∠DGB=90°，
∵AB=AG，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠ABC=∠AGD，
在△ABC和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{∠ABC=∠AGD}\\{BC=DG}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AGD，
∴AC=AD，
如图2，过A作AM⊥EF于M，
∵AE=AF，
∴∠EAM=∠FAM，
∵AC=AD，
∴∠CAM=∠DAM，
∴∠CAM-∠EAM=∠DAM-∠FAM，
即∠CAE=∠DAF，
∴△CAE≌△DAF，
∴CE=DF，
∴CE+EF=DF+EF，
即CF=DE，
∵CF=4，
∴DE=4．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，辅助线的作出是关键，构建了两对三角形全等，根据中间量CF=4得出结论；所以，在几何题中，如果所求的线段不能直接求出，可以找一个与它相等的线段来求．