Question

如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：CD=DF；
（2）若CD=

2

，求BD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）证明AD=BD，∠BFD=∠ACD，进而证明△BDF≌△ADC，即可解决问题．
（2）证明FA=FC；求出CF，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，
∴∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠ABD=∠BAD，AD=BD；
∵FD⊥DC，FE⊥CE，
∴∠FDC+∠FEC=180°，
∴E、F、D、C四点共圆，
∴∠BFD=∠ACD；
在△BDF与△ADC中，

∠FDB=∠CDA ∠BFD=∠ACD BD=AD

，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴CD=DF．
（2）∵AB=BC，BE⊥AC于点E，
∴AE=CE，即BE⊥AC且平分AC，
∴FA=FC；
∵FC²=2+2，
∴FA=FC=2，
∴BD=AD=2+

2

．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；应牢固掌握全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质等几何知识点，灵活运用、解题．