Question

已知，如图，AB为⊙O的直径，弦DC延长线上有一点P，∠PAC=∠PDA．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AD=6，tan∠ACD=3，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连接BC，如图，根据圆周角定理得∠B=∠PDA，加上∠PAC=∠PDA，则∠PAC=∠ABC，再利用圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，所以∠PAC+∠BAC=90°，即∠PAB=90°，然后根据切线的判定定理得到PA是⊙O的切线；
（2）连接BD，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD，则tan∠ABD=tan∠ACD=3，在Rt△ABD中，利用正切的定义得tan∠ABD=

AD

BD

=3，则可计算出BD=2，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到圆的半径．

解答：证明：（1）连接BC，如图，
∵∠B=∠PDA，
而∠PAC=∠PDA，
∴∠PAC=∠ABC
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°
∴∠PAC+∠BAC=90°，
即∠PAB=90°，
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠ACD，
∴tan∠ABD=tan∠ACD=3，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=

AD

BD

=3，
而AD=6，
∴BD=2，
∴AB=

AD2+BD2

=2

10

，
∴⊙O的半径为

10

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和勾股定理．