Question

14．如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4$\sqrt{2}$．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，以PD为直角边在PD左侧作等腰直角三角形PDE．在整个运动过程中，设△ABC与△PDE重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，E在AB上？
（2）当t=5，t=6时，求△ABC与△PDE重叠部分的面积S；
（3）写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出BC的长，根据题意列式计算即可；
（2）根据题意、结合图形计算即可；
（3）分0≤t≤4、4＜t≤$\frac{16}{3}$、$\frac{16}{3}$＜t≤8三种情况、结合图形解答即可．

解答 解：（1）由勾股定理得，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=8，
当E在AB边上时，t=2（8-t），
解得，t=$\frac{16}{3}$；
（2）当t=5时，S=$\frac{1}{2}$×（8-5）²-$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{5}{2}$）×2×（3-$\frac{5}{2}$）=$\frac{17}{4}$，
当t=6时，S=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
（3）当0≤t≤4时，S=$\frac{1}{4}$t²；
当4＜t≤$\frac{16}{3}$时，S=$\frac{1}{2}$×（8-t）²-$\frac{1}{2}$×[（8-t）-$\frac{1}{2}$t]²×2=-$\frac{7}{4}$t²+16t-32；
当$\frac{16}{3}$＜t≤8时，S=$\frac{1}{2}×$（8-t）²=$\frac{1}{2}$t²-8t+32．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定以及勾股定理的应用，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．