Question

18．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出100件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件30元，设每件降价x元（x为正整数），每星期的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并指出自变量x的取值范围；
（2）求每星期的利润y的最大值；
（3）直接写出x在什么范围内时，每星期的利润不低于5000元．

Answer 1

分析 （1）根据每星期利润等于每件的利润×销售量得到y与x的关系式；
（2）把解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案；
（3）求出y=5000时，x的值，利用二次函数的性质可得每周利润不低于5000元时x的范围即可得．

解答 解：（1）y=（60-30-x）（100+20x）=-20x²+500x+3000，1≤x≤30且x为正整数；

（2）y=-20（x-12.5）²+6125，
∵1≤x≤30且x为正整数，
∴当x=12或13时，y有最大值6120．

（3）当y=5000时，有-20x²+500x+3000=5000，
解得：x₁=5，x₂=20，
则5≤x≤20且x为正整数时，y≥5000．

点评 本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用能力，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程或函数关系式是解题的关键．