Question

等腰△ABC中，AB=AC=4

5

，BC=8，则它的外接圆半径为

 

；如图，△ABC中，∠ACB=120°，AB=6，则它的外切圆⊙O的半径为

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,三角形的外接圆与外心

专题：计算题

分析：如图1，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=

1

2

BC=4，再利用三角形外心的定义得到△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，利用勾股定理，在Rt△ABD中计算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到4²+（8-r）²=r²，再解关于r的方程即可；
如图2，作直径BD，连结AD，先根据圆内接四边形的性质得∠D=180°-∠ACB=60°，再根据圆周角定理由BD为直径得∠BAD=90°，然后在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BD．从而得到三角形外接圆半径．

解答：解：如图1，作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=

1

2

BC=4，
∴△ABC的外接圆的圆心在AD上，
连结OB，设⊙O的半径为r，
在Rt△ABD中，∵AB=4

5

，BD=4，
∴AD=

AB2-BD2

=8，
在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，
∴4²+（8-r）²=r²，解得r=5，
即△ABC的外接圆的半径为5；
如图2，作直径BD，连结AD，
∵∠D+∠ACB=180°，
∴∠D=180°-120°=60°，
∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ADB中，∠ABD=30°，AB=6，
∴AD=

3

3

AB=2

3

，
∴BD=2AD=4

3

，
∴△ABC的外接圆半径为2

3

．
故答案为5，2

3

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查来哦三角形外接圆与外心．