Question

17．在正方形ABCD中，连接BD．
（1）如图1，AE⊥BD于E，直接写出∠BAE的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB₁E₁，AB₁与BD交于M，AE₁的延长线与BD交于N．求证：BM²+ND²=MN²．（提示，将△AND绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，并连接FM．）
（3）如图3，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出线段BM、DN、MN之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）理由等腰三角形的三线合一的知识即可解决问题；
（2）将△AND绕点D顺时针旋转90^?，得到△AFB，只要证明△AFM≌△ANM，△FBM是直角三角形即可；
（3）结论：BM²+DN²=MN²．只要证明∠MAN=45°，利用（2）的方法即可证明；

解答 解：（1）如图1中，

∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=∠ADB=45^?，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE=∠BAE=45^?；

（2）将△AND绕点D顺时针旋转90^?，得到△AFB，

∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，
∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，
∴∠ADB=∠ABD=45^?，
∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90^?，
在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB²+BM²=FM²，
∵旋转△ABE得到△AB₁E₁，
∴∠E₁AB₁=45^?，
∴∠BAB₁+∠DAN=90^?-45^?=45^?，
∵∠BAF=DAN，
∴∠BAB₁+∠BAF=45^?，
∴∠FAM=45^?，
∴∠FAM=∠E₁AB₁，
∵AM=AM，AF=AN，
∴△AFM≌△ANM，
∴FM=MN，
∵BM²+FB²=FM²，
∴BM²+DN²=MN²．

（3）结论：BM²+DN²=MN²．
理由：如图3中，

将△ADF绕点A顺时针旋转90^?得到△ABG，
∴DF=GB，
∵正方形ABCD的周长为4AB，
△CEF周长为EF+EC+CF，
∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，
∴4AB=2（EF+EC+CF），
∴2AB=EF+EC+CF
∵EC=AB-BE，CF=AB-DF，
∴2AB=EF+AB-BE+AB-DF，
∴EF=DF+BE，
∵DF=GB，
∴EF=GB+BE=GE，
由旋转得到AF=AG，
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF，
∴∠EAG=∠EAF=45°，
同理可得BM²+DN²=MN²．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．