Question

如图所示，对称轴是x=-1的抛物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；
（3）连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，若∠EAC=∠OFB，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法设出交点式求得二次函数的解析式即可；
（2）首先求得直线BC的解析式，然后设P（m，0），则D（m，m+3），E（m，-m²-2m+3），得到s=y_E-y_D=-m²-3m，配方后即可确定最值；
（3）根据OA=OC=3，OB=1，得到∠OAC=∠OCA=45°，BC=

10

，BM=

10

2

，从而得到∠ADP=∠ACO=45°，利用cos∠ABC=

BM

BN

=

OB

BC

，得到BN=5，CN=5-2=3=OC，可得△FNG≌△BCO，然后分当点P在A、O之间时和当点P在O、B之间时确定P点的坐标．

解答：解：（1）由A、B（1，0）两点关于x=-1对称，得A（-3，0），
设抛物线为y=a（x-1）（x+3），
将点C（0，3）代入，解得a=-1，
∴抛物线的函数表达式y=-（x-1）（x+3）=-x²-2x+3；

（2）由B、C两点的坐标可求得直线AC的表达式：y=x+3，
设P（m，0），则D（m，m+3），E（m，-m²-2m+3），
s=y_E-y_D=-m²-2m+3-（m+3）
=-m²-3m
=-（m+

3

2

^）2+

9

4

                                 
∵-1＜0，
∴s有最大值

9

4

； 

（3）∵OA=OC=3，OB=1，
∴∠OAC=∠OCA=45°，BC=

10

，BM=

10

2

，
∴∠ADP=∠ACO=45°，
∵cos∠ABC=

BM

BN

=

OB

BC

，即

10 2

BN

=

1

10

，
∴BN=5，GN=5-2=3=OC（G为对称轴与x轴的交点），
可得△FNG≌△BCO，GF=OB=1=OG，
∴∠FOG=45°，
∴∠OFB=45°-∠FBG，
∵∠EAC=∠OFB，
∴∠EAC=45°-∠FBG
当点P在A、O之间时，如图（2），
∵∠AEP=∠ADP-∠EAC=45°-∠EAC=∠FBG，
∴tan∠AEP=tan∠FBG，
∴

AP

EP

=

FG

BG

=

1

2

，
∴

m+3

-m2-2m+3

=

1

2

，
解得m=-1或-3（舍去），
∴P（-1，0）
当点P在O、B之间时，
∵∠EAP=∠DAP-∠EAC=45°-∠EAC=∠FBG，
∴tan∠EAP=tan∠FBG，
∴

EP

AP

=

FG

BG

=

1

2

∴

-m2-2m+3

m+3

=

1

2

，
解得m=

1

2

或-3（舍去），
∴P（

1

2

，0）．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏，难度较大．