Question

阅读下列材料：在公式（a+1）²=a²+2a+1中，当a分别取1、2、3、4、…n可得以下等式：（1+1）²=1²+2×1+1；  （2+1）²=2²+2×2+1； （3+1）²=3²+2×3+1；（4+1）²=4²+2×4+1；…（n+1）²=n²+2n+1
（1）将这n个等式的左右两边分别相加，可以推导出求和公式：1+2+3+…+n=

 

（2）若（a+1）³=a³+3a²+3a+1，仿照上述方法，求1²+2²+3²+…+n²．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）将这n个等式的左右两边分别相加，去掉相同的项，即可化简求得；
（2）先在立方公式中，取b=1，那么（a+1）³-a³=3a²+3a+1，再让a=1，2，3，…，n-1，n得2³-1=3×1²+3×1+1，3³-2³=3×2²+3×2+1，4³-3³=3×3²+3×3+1，…，（n+1）³-n³=3×n²+3n+1，再把这些式子相加可得（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，从而可证1²+2²+3²+…+n²=

(n+1)3-1-3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．

解答：解：（1）把已知的式子左右分别相加得：（1+1）²+（2+1）²+（3+1）²+…+（n+1）²=1²+2²+3²+…+n²+2（1+2+…+n）+n，
即2²+3²+4²+…+（n+1）²=1²+2²+3²+…+n²+2（1+2+…+n）+n，
则（n+1）²=1+2（1+2+3+…+n）+n，
即2（1+2+3+4+…+n）=n²+n
∴1+2+3+4+5+6+…+n=

n(n+1)

2

．
（2）在立方公式中，取b=1得（a+1）³-a³=3a²+3a+1，
依次取a=1，2，3，…，n-1，n得
2³-1=3×1²+3×1+1，3³-2³=3×2²+3×2+1，4³-3³=3×3²+3×3+1，…（n+1）³-n³=3×n²+3n+1，
将以上n个式子相加，得（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，
∴1²+2²+3²+…+n²=

(n+1)3-1-3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．

点评：本题考查了完全平方公式和立方公式．在证明过程中可仿照平方公式的证明方法，注意先对立方公式进行变形．