Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O且AC=BD，M、N分别为AD、BC的中点，连接MN交AC、BD于点E、F．
求证：OE=OF．

Answer 1

分析：取AB的中点G，连接MG、NG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MG∥BD，MG=

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BD，NG∥AC，NG=

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AC，然后求出MG=NG，根据等边对等角可得∠GMN=∠GNM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GMN=∠OFE，∠GNM=∠OEF，从而得到∠OEF=∠OFE，再根据等角对等边即可得证．

解答：证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，
∵M、N分别为AD、BC的中点，
∴MG∥BD，MG=

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2

BD，NG∥AC，NG=

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AC，
∴∠GMN=∠OFE，∠GNM=∠OEF，
又∵AC=BD，
∴MG=NG，
∴∠GMN=∠GNM，
∴∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等角对等边的性质，作出辅助线并利用好条件“AC=BD”是解题的关键．