Question

已知三条抛物线C₁：y=ax²+bx+c；C₂：y=bx²+cx+a；C₃：y=cx²+ax+b，（a，b，c互不相等）
（1）若a=1，b=2，c=-3，且抛物线C₁和C₂相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（i）求A、B两点的距离；
（ii）若点P在抛物线C₁上，点Q在抛物线C₂上，且均位于点A和点B之间，求当PQ∥y轴时，PQ长度的最大值．
（2）若这三条抛物线在x轴上恰好有一个公共交点，求

a2

bc

+

b2

ca

+

c2

ab

的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将a=1，b=2，c=-3代入得到抛物线C₁：y=x²+2x+3、C₂：y=2x²-3x+1
（i）将两个二次函数联立求得交点坐标即可确定点A和点B的坐标；∵点A在点B的左边；
（ii）根据点P在C₁上 点Q在抛物线C₂上，且PQ∥y轴，设P（a，a²+2a-3）Q（a，2a²-3a+1）（1＜a＜4），从而表示出PQ=（a²+2a-3）-（2a²-3a+1）=-a²+5a-4，配方后即可确定最值；
（2）根据若三条抛物线在x轴上恰好有一个公共交点设公共交点的坐标为（x，0），代入从而得到（a+b+c）（x²+x+1）=0，根据x²+x+1=（x+

1

2

^）2+

3

4

＞0，得到a+b+c=0，然后利用合比性质求得代数式的值即可．

解答：解：（1）当a=1，b=2，c=-3时，抛物线C₁：y=x²+2x+3、C₂：y=2x²-3x+1
（i）抛物线C₁和C₂相交于A，B两点
∴

y=x2+2x-3 y=2x2-3x+1

，
解得 

x=1 y=0

或

x=4 y=21

，
∵点A在点B的左边，
∴点A（1，0），B（4，21），
∴AB=

(4-1)2+(21-0)2

=15

2

；

（ii） 如图，点P在C₁上 点Q在抛物线C₂上，且PQ∥y轴
∴设P（a，a²+2a-3）Q（a，2a²-3a+1）（1＜a＜4），
∴PQ=（a²+2a-3）-（2a²-3a+1）
=-a²+5a-4
=-（a-

5

2

）²+

9

4

，
∴当a=

5

2

时，PQ的最小值为

9

4

；

（2）∵若三条抛物线在x轴上恰好有一个公共交点
∴设公共交点的坐标为（x，0），代入，得：

ax2+bx+c=0 bx2+cx+a=0 cx2+ax+b=0

，
∴（a+b+c）（x²+x+1）=0．
∵x²+x+1=（x+

1

2

^）2+

3

4

＞0，
∴a+b+c=0．
∴

a2

bc

+

b2

ca

+

c2

ab

=

a3+b3+c3

abc

=

a3+b3-(a+b)3

abc

=

3abc

abc

=3．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了如何表示平行于坐标轴的线段的长，平行于y轴的线段的长等于其两个点的纵坐标的差的绝对值，难度较大．