Question

1．已知关于x的一元二次方程mx²-（2m+1）x+2=0
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；
（3）若a是方程的实数根，求代数式ma³-（4m+1）a²+4（m+1）a+5的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意m≠0，则计算判别式有△=（2m-1）²≥0，然后根据判别式的意义即可得到结果；
（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值；
（3）根据一元二次方程的解的定义得到ma²-（2m+1）a+2=0，变形为ma³-（2m+1）a²+2a=0，然后把所求的代数式变形后利用整体代入的方法进行计算．

解答 （1）证明：∵方程mx²-（2m+1）x+2=0是关于x的一元二次方程，
∴m≠0，
∵△=（2m+1）²-4m×2=（2m-1）²≥0，
∴此方程总有两个实数根；

（2）解：x=$\frac{（2m+1）±\sqrt{（2m+1）^{2}-4m×2}}{2m}$，
∴x₁=2，x₂=$\frac{1}{m}$．
当m为整数1或-1时，x₂为整数，即该方程的两个实数根都是整数，
∴m的值为1或-1，

（3）解：∵a是方程的实数根，
∴ma²-（2m+1）a+2=0，
∴ma³-（2m+1）a²+2a=0，
∴ma³=（2m+1）a²-2a代入ma³-（4m+1）a²+4（m+1）a+5得，
∴（2m+1）a²-2a-（4m+1）a²+4（m+1）a+5=-2ma²+（4m+2）a-4+9
=-2[ma²-（2m-1）a+2]+9=9．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况是解题的关键，即△＞0?方程有两个不相等的实数根，△=0?方程有两个相等的实数根，△＜0?方程无实数根．