Question

2．如图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式：a²-b²=（a+b）（a-b）．
（1）请你通过对图的剪拼，画出三种不同拼法的示意图．要求：
①拼成的图形是四边形；
②在图上画剪切线（用虚线表示）；
③在拼出的图形上标出已知的边长．
（2）感受平方差公式的无字证明，并用公式巧算下题；
①2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）…（3³²+1）+1
②100²-99²+98²-97²+96²-95²+…2²-1²．

Answer 1

分析 （1）①将原图片剪成两部分，它们分别是边长为a、a-b和b、a-b的矩形，可拼成一个边长为a-b、a+b的矩形；
②沿对角线将原图分成两个直角梯形，将它们的高重合，拼成一个等腰梯形；
③将原图沿小正方形的边剪开，分成三个小矩形，然后三个小矩形又可拼成一个大矩形．
（2）①将2拆成3-1，然后依次与后一项按照平方差公式计算可得；
②将每两个相邻整数的平方差按照公式展开，化为连续整数相加，计算可得结果．

解答 解：（1）
①、
②、
③、
（2）①2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）…（3³²+1）+1
=（3-1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）…（3³²+1）+1
=（3²-1）（3²+1）（3⁴+1）…（3³²+1）+1
=（3⁴-1）（3⁴+1）…（3³²+1）+1
…
=3⁶⁴-1+1
=3⁶⁴；
②100²-99²+98²-97²+96²-95²+…2²-1²
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（96+95）（96-95）+…+（2+1）（2-1）
=100+99+98+97+…+2+1
=$\frac{100×（100+1）}{2}$
=5050．

点评 本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．