Question

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D是线段AC上的点，点E是线段CB延长线上的点，且BE=AD，连接DE交AB于点F，过点D作DG⊥AB，垂足为G，则线段FG的长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过D点作DH∥BC交AB于点H，由DH∥BC得到∠ADH=90°，又因为∠A=45°，所以AD=DH，证明△DHF≌△EBF，得到HF=BF，所以DG=GH+FH=$\frac{1}{2}$AB，即可求解．

解答 解：过D点作DH∥BC交AB于点H，
∴∠HDE=∠BEF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ADH=90°，∠A=45°，
∴AD=DH，
∵BE=AD，
∴DH=EB
在△DHF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDE=∠BEF}\\{∠HFD=∠BFE}\\{DH=EB}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△EBF，
∴HF=BF，
∴FG=GH+FH=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴FG=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，作出辅助线构造三角形全等是解决问题的关键．