Question

已知△ABC中，AB=AC，DE⊥AC于点E，DE与半⊙O相切于点D．
求证：△ABC是等边三角形．

Answer 1

考点：切线的性质,等边三角形的判定

专题：证明题

分析：连接OD，如图，根据切线的性质得OD⊥DE，而DE⊥AC，则可判断OD∥AC，根据平行线的性质得到∠BOD=∠C，再由等腰三角形的性质得∠B=∠C，则∠B=∠BOD，易得△ODB为等边三角形，得到∠B=60°，然后根据等边三角形的判定即可得到△ABC为等边三角形．

解答：证明：连接OD，如图，
∵DE与半⊙O相切于点D，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠BOD=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BOD，
∴DB=DO，
∵OD=OB，
∴OB=OD=BD，
∴△ODB为等边三角形，
∴∠B=60°，
而△ABC为等腰三角形，
∴△ABC为等边三角形．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质．