题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCD是菱形，点B、点C在x轴上，点A在y轴上，BD交y轴于点M，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（-3，0）．（1）求直线BD的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿线段BD方向以
| 5 |
（3）在（2）的条件下，当点P在BM上运动时，是否存在∠APO与∠AMB相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据菱形的性质，可得AD的长，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）分类讨论：0＜0＜
，
≤t≤
，根据相似三角形的性质，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的性质，可得
=
，根据比例的性质，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得P点坐标，根据两点间距离公式，可得BP的长，根据路程与速度的关系，可得答案．
（2）分类讨论：0＜0＜
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（3）根据相似三角形的性质，可得
| AP |
| AO |
| AM |
| AP |
解答：解：（1）由勾股定理，得
AB=
=
=5．
由菱形的性质，得
AD=AB=5，D （5，4）．
设BD的解析式是y=kx+b，函数图象经过B、D点，得
，
解得
．
故直线BD的解析式是y=
x+
；
（2）如图1：
，
当x=0时，y=
，P（0，
），
BP=
t，BM=
=
，
PM=BM-BP=
．
△MPN∽△MBO，
=
，
即
=
，
化简，得y=-t+
（0＜t＜
）；
如图2：
，
PM=
t-
，AM=4-
=
，MD=
=
．
△MPN∽△MAD，
=
，
即
=
，
化简，得
y=t-
（
＜t＜
），
综上所述：y=
（3）存在∠APO与∠AMB相等．
如图3：
，
由（2）知AM=
，
∠APO=∠AMB，∠PAO=∠MAP，
△APO∽△AMP，
=
，
AP2=AM•AO，
设P点坐标是（a，
a+
），
AP2=a2+（
a+
-4）2=
×4，
解得a1=3（不符合题意的要舍去），a2=-1，
P（-1，1），
BP=
=
．
t=
=1（秒），
故存在∠APO=∠AMB时，t=1秒．
AB=
| AO2+BO2 |
| 42+(-3)2 |
由菱形的性质，得
AD=AB=5，D （5，4）．
设BD的解析式是y=kx+b，函数图象经过B、D点，得
|
解得
|
故直线BD的解析式是y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）如图1：
，当x=0时，y=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
BP=
| 5 |
| BO2+OM2 |
3
| ||
| 2 |
PM=BM-BP=
3
| ||||
| 2 |
△MPN∽△MBO，
| PM |
| BM |
| MN |
| MO |
即
| ||||||
|
| y | ||
|
化简，得y=-t+
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
如图2：
，PM=
| 5 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| AM2+AD2 |
5
| ||
| 2 |
△MPN∽△MAD，
| PM |
| MD |
| MN |
| AM |
即
| ||||||
|
| y | ||
|
化简，得
y=t-
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
综上所述：y=
|
（3）存在∠APO与∠AMB相等．
如图3：
，由（2）知AM=
| 5 |
| 2 |
∠APO=∠AMB，∠PAO=∠MAP，
△APO∽△AMP，
| AP |
| AM |
| AO |
| AP |
AP2=AM•AO，
设P点坐标是（a，
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
AP2=a2+（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
解得a1=3（不符合题意的要舍去），a2=-1，
P（-1，1），
BP=
| (-1+3)2+12 |
| 5 |
t=
| ||
|
故存在∠APO=∠AMB时，t=1秒．
点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了菱形的性质，待定系数法求解析式；（2）利用了相似三角形的性质；（3）利用了相似三角形的性质，路程与速度的关系．
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