Question

13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=CF，连接AE、EF和CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠CAE=20°，求∠EFC的度数．

Answer 1

分析 （1）欲证明AE=CF，只要证明△ABE≌△CBF（ SAS）即可．
（2）根据∠AEB=∠BFC，求出∠BFC，根据∠EFC=∠BFC-∠EFB即可解决问题．

解答 （1）证明：在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AB\\∠ABE=∠CBF\\ BE=BF\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（ SAS）
∴AE=CF

（2）解：∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠CAB=45°，
∵∠CAE=20°，
∴∠EAB=45°-20°=25°，
∴∠BCF=∠EAB=25°，
∵∠CBF=90°，
∴∠BFC=180°-25°-90°=65°，
∵∠EBF=90°，BE=BF，
∴∠EFB=45°，
∴∠EFC=∠BFC-∠EFB=20°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．