题目内容
7．已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，A（0，5），C（$\frac{20}{3}$，0），AOCD为矩形，AE垂直于对角线OD于E，点F是点E关于y轴的对称点，连AF、OF．（1）求AF和OF的长；
（2）如图②，将△OAF绕点O顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△OAF为△OA′F′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与线段AD交于点P，与线段OD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时点P坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）运用勾股定理和面积相等法结合轴对称性质即可求解；
（2）画出图形，根据PQ=PD，PD=DQ结合平行线的性质，对顶角相等和角的等量代换，运用勾股定理即可求解．
解答 解：（1）如图①
∵OA=5，AD=OC=$\frac{20}{3}$，
由勾股定理可求．OD=$\frac{25}{3}$，
∵AE×OD=AO×AD，
∴AE=4，
∴OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=3，
∵点F是点E关于y轴的对称点，
∴AF=AE=4，OF=OE=3；
（2）如图②
若PD=PQ，
易得∠1=∠2=∠3，
∵∠1=∠A′，
∴∠3=∠A′，
∴OQ=OA′=5，
∴DQ=$\frac{10}{3}$，
过点P作PH⊥DQ，
∴$DH=\frac{1}{2}DQ=\frac{5}{3}$，
∵cos∠1=$\frac{4}{5}$，
∴DP=$\frac{25}{12}$，
∴AP=$\frac{55}{12}$，
∴此时点P的坐标为（$\frac{55}{12}$，5）；
如图③
∵点P在线段AD上，
∴∠1＞∠PDQ，
∴QP，QD不会相等；
如图③，
若DP=DQ，
易得，∠1=∠2=∠3=∠4，
∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠COD，
∴∠4=∠A′OQ，
∴A′Q=A′O=5，
∴F′Q=5-4=1，
∴OQ=$\sqrt{10}$，
∴DP=DQ=$\frac{25}{3}$-$\sqrt{10}$，
∴AP=AD-DP=$\sqrt{10}$-$\frac{5}{3}$，
∴此时点P的坐标为：（$\sqrt{10}$-$\frac{5}{3}$，5）．
点评 此题主要考查几何变换的综合问题，熟悉轴对称和旋转的性质，会针对等腰进行分类讨论，数练运用勾股定理和角的等量代换是解题的关键．
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（ ）
（ ）
| A． | 360° | B． | 540° | C． | 630° | D． | 720° |