Question

6．已知点A（0，-4），B（8，0）和C（a，-a），若过点C的圆的圆心是线段AB的中点，则这个圆的半径的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用点C的坐标可判断点C在直线y=-x上，在确定AB的中点D的坐标为（4，-2）过D点作DC垂直直线y=-x于点C，利用两点之间线段最短得到此时CD为过点C的圆的最小半径，再求出直线CD的解析式为y=x-6，
通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得C点坐标为（3，-3），然后利用两点的距离公式计算CD的长即可．

解答 解：∵C（a，-a），
∴点C在直线y=-x上，
设AB的中点D，则D（4，-2）
过D点作DC垂直直线y=-x于点C，此时CD为过点C的圆的最小半径，
∵CD⊥直线y=-x，
∴直线CD的解析式可设为y=x+b，
把D（4，-2）代入得4+b=-2，解得b=-6，
∴直线CD的解析式为y=x-6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
此时C点坐标为（3，-3），
∴CD=$\sqrt{（4-{3}^{2}+（-2+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即这个圆的半径的最小值为$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了坐标与图形性质．解决本题的关键是直线y=-x与圆相切时的切点坐标．