题目内容
（1）如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=2cm，在AB边上取一点E，（点E与A，B不重合），连接CE、DE，分矩形ABCD所成的3个三角形都相似．我们把这样的点E叫做矩形ABCD的AB边上的全相似点，在图的AB边上画出满足要求的全相似点E，并求AE的长；（画图工具不限，可以简单说明）
（2）对于任意一个矩形ABCD，AB边上是否一定存在这样的全相似点E？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举例说明；
（3）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，当点E是四边形ABCD的AB边上的一个全相似点时．请探究：AE与BE的数量关系，并说明理由．
（2）对于任意一个矩形ABCD，AB边上是否一定存在这样的全相似点E？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举例说明；
（3）在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，当点E是四边形ABCD的AB边上的一个全相似点时．请探究：AE与BE的数量关系，并说明理由．
分析：（1）根据相似三角形对应角相等可得∠A=∠B=∠CED，作以CD为直径的圆，与AB的交点即为所求的点E，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AE的值；
（2）根据（1）的作法，若矩形的宽大于长的一半，则圆与另一边没有交点，也就不存在全相似点；
（3）根据全相似点的定义可得△ADE和△BEC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
（2）根据（1）的作法，若矩形的宽大于长的一半，则圆与另一边没有交点，也就不存在全相似点；
（3）根据全相似点的定义可得△ADE和△BEC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解答：
解：（1）如图，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∵三个三角形都相似，
∴∠CED=90°，
以CD为直径作⊙O，与AB相交，交点即为点E，
设AE=x，则BE=AB-AE=5-x，
∵△ADE∽△BEC，
∴
=
，
即
=
，
整理得，x1=1，x2=4，
所以，AE的长为1cm或4cm；
（2）由（1）可知，当矩形的长AB＜2AD时，圆与AB没有交点，所以AB边上不存在这样的全相似点E；
（3）AE与BE的数量关系为：AE•BE=AD•BC．
理由如下：如图，∵点E是四边形ABCD的AB边上的一个全相似点，
∴△ADE∽△BEC，
∴
=
，
∴AE•BE=AD•BC．
解：（1）如图，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，∵三个三角形都相似，
∴∠CED=90°，
以CD为直径作⊙O，与AB相交，交点即为点E，
设AE=x，则BE=AB-AE=5-x，
∵△ADE∽△BEC，
∴
| AE |
| BC |
| AD |
| BE |
即
| x |
| 2 |
| 2 |
| 5-x |
整理得，x1=1，x2=4，
所以，AE的长为1cm或4cm；
（2）由（1）可知，当矩形的长AB＜2AD时，圆与AB没有交点，所以AB边上不存在这样的全相似点E；
（3）AE与BE的数量关系为：AE•BE=AD•BC．
理由如下：如图，∵点E是四边形ABCD的AB边上的一个全相似点，
∴△ADE∽△BEC，
∴
| AD |
| BE |
| AE |
| BC |
∴AE•BE=AD•BC．
点评：本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解全相似点的定义，判断出∠CED=90°，从而确定作以CD为直径的圆是解题的关键．
练习册系列答案
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