题目内容

（2012•宁德）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合
（1）直接写出点A、B的坐标：A（
6
6
，
0
0
）、B（
0
0
，
-8
-8
）；
（2）若抛物线y=-
1
3
x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是
y=-
1
3
x2+
10
3
x-8
y=-
1
3
x2+
10
3
x-8
；
（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；
（4）当
7
2
≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值．
分析：（1）由OB长，能直接得到点B的坐标；在Rt△OAB中，已知OB、BA（即BC长）长，由勾股定理可得到OA的长，即可确定点A的坐标．
（2）根据（1）的结论，利用待定系数法能求出抛物线的解析式．
（3）根据OA、OB以及AD、CD的长，不难发现∠BAO=∠CAD，那么若题干提到的两个三角形若相似，必须满足夹这对相等角的两组对应边成比例，所以分两种情况，列比例式求解即可．
（4）此题涉及的情况较多，大致分三种情况：点P在x轴下方（分左右两侧共两种情况）、点P在x轴上方；可过点P作x轴的垂线，通过规则图形间的面积和差关系得出关于△ABP的函数关系式，再由函数的性质得到△ABP的面积最大值．
解答：解：（1）由OB=8，得：B（0，-8）．
∵BA由BC旋转所得，∴BA=BC=10；
在Rt△BAO中，OB=8，BA=10，则：OA=
BA2-OB2
=6，即：A（6，0）．
∴A（6，0）、B（0，-8）．

（2）抛物线y=-
1
3
x2+bx+c经过A、B两点，则：
-
1
3
×36+6b+c=0
c=-8
，
解得
b=
10
3
c=-8

故这条抛物线的解析式：y=-
1
3
x2+
10
3
x-8．

（3）存在．
设M（m，-
1
3
m2+
10
3
m-8），则N（m，0），MN=|-
1
3
m2+
10
3
m-8|，NA=6-m，又DA=4，CD=8；
①若点M在N上方，
MN
CD
=
NA
DA
，则△AMN∽△ACD；
∴
-
1
3
m2+
10
3
m-8
8
=
6-m
4
，即 m2-16m+60=0，解得 m=6或m=10．
与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符．
∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似．
若
MN
DA
=
NA
CD
，则△AMN∽△ACD；
则
-
1
3
m2+
10
3
m-8
4
=
6-m
8
，
∴2m2-23m+66=0，
解得：m=
11
2
或m=6，
∴此时存在点M（
11
2
，
1
4
），使△AMN与△ACD相似
②若点M在点N下方，
MN
DA
=
NA
CD
，则△AMN∽△ACD；
∴
1
3
m2-
10
3
m-8
4
=
6-m
8
，即 2m2-17m+30=0，解得 m=
5
2
或m=6；
当m=
5
2
时符合条件；
∴此时存在点M（
5
2
，-
7
4
），使△AMN与△ACD相似．
若
MN
DA
=
NA
CD
，则△AMN∽△ACD；
则
1
3
m2-
10
3
m-8
8
=
6-m
4
，
∴m2-4m+60=0，
解得：m=10或x=-6，
此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似．
综上所述，存在点M（
5
2
，-
7
4
）或（
11
2
，
1
4
），使得△AMN与△ACD相似．

（4）设P（p，-
1
3
p2+
10
3
p-8），在y=-
1
3
x2+
10
3
x-8中，令y=0，得x=4或x=6；
∴
7
2
≤x≤7分为
7
2
≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：
①如图，当
7
2
≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H，则OH=p，HA=6-p，PH=
1
3
p2-
10
3
p+8；
∴S△ABP=S△OAB-S梯形OBPH-S△APH
=
1
2
•6•8-
1
2
•（
1
3
p2-
10
3
p+8）•p-
1
2
•（6-p）•（
1
3
p2-
10
3
p+8）
=-p2+6p=-（p-3）2+9
∴当
7
2
≤x＜4时，S△ABP随p的增大而减小；
∴当x=
7
2
时，S△ABP取最大值，且最大值为
35
4
．
②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G；
则BH=p，HG=6-p，PH=-
1
3
p2+
10
3
p-8+8=-
1
3
p2+
10
3
p．
∴S△ABP=S△BPH+S梯形PHGA-S△ABG
=
1
2
•（-
1
3
p2+
10
3
p）•p+
1
2
•（-
1
3
p2+
10
3
p+8）•（6-p）-
1
2
•6•8
=-p2+6p=-（p-3）2+9
∴当4≤x＜6时，S△ABP随p的增大而减小；
∴当x=4时，S△ABP取得最大值，且最大值为8．
③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H；则OH=p，HA=p-6，PH=
1
3
p2-
10
3
p+8．
∴S△ABP=S梯形OBPH-S△OAB-S△APH
=
1
2
•（
1
3
p2-
10
3
p+8）•p-
1
2
•6•8-
1
2
•（p-6）•（
1
3
p2-
10
3
p+8）
=p2-6p=（p-3）2-9
∴当6≤x≤7时，S△ABP随p的增大而增大；
∴当x=7时，S△ABP取得最大值，最大值为7；
综上所述，当x=
7
2
时，S△ABP取得最大值，最大值为
35
4
．
点评：该题主要考查了矩形的性质、函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及图形面积的求法等重要知识；后两个小题涉及了多种情况，容易出现漏解的情况，是本题易错的地方．
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120
120
°．
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3
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（2012•宁德）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB=
12
12
cm．

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