Question

2．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③-$\frac{4}{3}$≤a≤-1；④a+b≥am²+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax²+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据抛物线开口向下判断出a＜0，再根据顶点横坐标用a表示出b，根据与y轴的交点求出c的取值范围，然后判断出①错误，②正确，根据点A的坐标用c表示出a，再根据c的取值范围解不等式求出③正确，根据顶点坐标判断出④正确，⑤错误，从而得解．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标（1，n），
∴对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a＞0，
∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），
∴3≤c≤4，
∴abc＜0，故①错误，
3a+b=3a+（-2a）=a＜0，故②正确，
∵与x轴交于点A（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴a-（-2a）+c=0，
∴c=-3a，
∴3≤-3a≤4，
∴-$\frac{4}{3}$≤a≤-1，故③正确，
∵顶点坐标为（1，n），
∴当x=1时，函数有最大值n，
∴a+b+c≥am²+bm+c，
∴a+b≥am²+bm，故④正确，
一元二次方程ax²+bx+c=n有两个相等的实数根x₁=x₂=1，故⑤错误，
综上所述，结论正确的是②③④共3个．
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．