Question

17．超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC=200米，B在A的北偏东75°方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 直接构造直角三角形，再利用特殊角的三角函数关系得出AB的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案．

解答 解：这辆汽车超速了，
理由：过点D作DF⊥CB于点F，过点D作DE⊥AC于点E，
由题意可得：∠ACD=30°，∠DCB=45°，∠CDB=75°，则∠DAE=45°，∠CDF=45°，∠FDB=30°，
设BF=x，则DF=CF=$\sqrt{3}$x，
∵BC=200m，
∴$\sqrt{3}$x+x=200，
解得：x=100（$\sqrt{3}$-1），
故BF=100（$\sqrt{3}$-1）m，
则BD=200（$\sqrt{3}$-1）m，
DC=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$×100（$\sqrt{3}$-1）=（300$\sqrt{2}$-100$\sqrt{6}$）m，
故DE=（150$\sqrt{2}$-50$\sqrt{6}$）m，
则AD=$\sqrt{2}$（150$\sqrt{2}$-50$\sqrt{6}$）=（300-100$\sqrt{3}$）m，
故AB=AD+BD=300-100$\sqrt{3}$+200（$\sqrt{3}$-1）=100（$\sqrt{3}$+1）≈273（m），
∴$\frac{273}{7}$≈39（m/s），
∵每小时120千米=$\frac{100}{3}$≈33.3（m/s），
∵39＞33.3，
∴这辆车已经超速．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题关键．