Question

12．已知一个长方形的长为（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）cm，宽为（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）cm，请分别求出它的面积和对角线的长．

Answer 1

分析 长方形的面积等于长乘以宽，计算时应用平方差公式比较简便；求长方形的对角线应用勾股定理，注意二次根式的运算

解答 解：如图所示：

∵在Rt△BCD中，BC=（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）cm，CD=（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）cm，且∠BCD=90°，
∴S_{四边形ABCD}=（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）×（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）
=（2$\sqrt{2}$）²-（$\sqrt{2}$）²
=8-2
=6（cm²）
由勾股定理得：
BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$
=$\sqrt{（2\sqrt{3}+\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{3}-\sqrt{2}）^{2}}$
=$\sqrt{12+4\sqrt{6}+2+12-4\sqrt{6}+2}$
=2$\sqrt{7}$（cm）
即：该长方形的面积和对角线的长分别是6cm²、2$\sqrt{7}$cm

点评 本题考查了二次根式的应用，解题的关键的是二次根式的运算：（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）×（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=（2$\sqrt{2}$）²-（$\sqrt{2}$）²、（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）²=（2$\sqrt{3}$）²+2×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$+（$\sqrt{2}$）²
=12+4$\sqrt{6}$+2等．