Question

如图所示，在等腰三角形ABC中，∠A=90°，D是斜边BC的中点，
（1）若E在直角边AB上运动，F在直角边AC上运动，在运动过程中始终保持BE=AF，试探求△EDF的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否发生变化？并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连接AD，易证AD=BD，∠FAD=∠B=45°，即可证明△AFD≌△BED，可得DF=DE，∠ADF=∠BDE，即可求得∠EDF=90°，即可解题；
（2）根据△AFD≌△BED可得S_△AFD=S_△BED，即可解题．

解答：证明：（1）连接AD，

∵等腰三角形ABC中，∠A=90°，D是斜边BC的中点，
∴AD=BD，∠FAD=∠B=45°，
在△AFD和△BED中，

AD=BD ∠FAD=∠B AF=BE

，
∴△AFD≌△BED（SAS），
∴DF=DE，∠ADF=∠BDE，
∵∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）∵△AFD≌△BED，
∴S_△AFD=S_△BED，
∴四边形AEDF的面积不变且等于S_△ADB．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，考查了全等三角形面积相等的性质，本题中求证△AFD≌△BED是解题的关键．