Question

【题目】如图，在□ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形．

（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形AECF也是菱形．

（3）如果四边形ABCD是矩形，请判断四边形AECF的形状，不必写出证明过程．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）四边形AECF是平行四边形．

【解析】

（1）根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形；（2）根据对角线互相垂直的四边形是菱形即可证明；

（3）因为矩形的对角线相等，根据对角线互相平分的四边形可判定AECF的形状．

证明：（1）如图，连AC，设AC、BD相交于点O，

，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵BE=FD，

∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即AC⊥EF；

由（1）得：四边形AECF是平行四边形，

∴四边形AECF是菱形；

（3）∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵BE=FD，

∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，

∴四边形AECF是平四边形．