Question

13．在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：

操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC=5cm，BC=7cm，可得△ACD的周长为12cm；
（2）如果∠CAD：∠BAD=1：2，可得∠B的度数为36°；
操作二：如图2，李静拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB=10cm，BC=8cm，请求出BE的长．

Answer 1

分析 操作一：（1）由翻折的性质可知：BD=AD，于是AD+DC=BC，从而可知△ACD的周长=BC+AC；
（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，由翻折的性质可知∠CBA=2x，然后根据直角三角形两锐角互余可知：x+2x+2x=90°．
操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得DC的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得AD的长，由翻折的性质可知：DE=DA，最后根据BE=AB-DE-AD计算即可．

解答 解：操作一：（1）翻折的性质可知：BD=AD，
∴AD+DC=BC=7．
∴△ACD的周长=CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12cm．
故答案为：12cm．
（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x．
由翻折的性质可知：∠BAD=∠CBA=2x，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴x+2x+2x=90°．
解得；x=18°．
∴2x=2×18°=36°．
∴∠B=36°．
故答案为：36°．
操作二：在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6．
由翻折的性质可知：ED=AD，DC⊥AB．
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}AB•CD$，
∴10CD=6×8．
∴CD=4.8．
在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-4．{8}^{2}}$=3.6．
∴EA=3.6×2=7.2．
∴BE=10-7.2=2.8．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CD的长度是解题的关键．