Question

7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1=∠2．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）联结EG，试说明EG与DF垂直的理由．

Answer 1

分析 （1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）由∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠F（两直线平行，内错角相等）
∵E为AB的中点，
∴AE=BE（中点的意义），
在△ADE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}∠1=∠F（已证）\\∠AED=∠BEF（对顶角相等）\\ AE=BE（已知）\end{array}\right.$
∴△ADE≌△BFE（AAS）．
（2）∵∠1=∠F，∠1=∠2，
∴∠F=∠2（等量代换），
∴DG=FG（等角对等边）．
∵△ADE≌△BFE （已证），
∴DE=FE（全等三角形的对应边相等），
∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．