Question

14．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点F是边BC上一动点（不与B、C重合），连接DF，以点F为一顶点作正方形FEHG，使点E、G分别在线段AB、FD上．
（1）证明：△BEF∽△CFD；
（2）设BF=x
①求BE的长（用含x的代数式表示）；
②试说明BE的长能否为$\frac{3}{2}$，若能，求出x的值；若不能，请说明理由；
（3）连接AH，当AH恰平分∠BAD时，求CF的值．

Answer 1

分析 （1）由∠EFB+∠DFC=90°，∠DFC+∠FDC=90°，推出∠EFB=∠FDC，由此即可证明．
（2）①由△BEF∽△CFD，得$\frac{BF}{CD}$=$\frac{BE}{CF}$，即可求出BE．
②列出方程理由根的判别式即可判断．
（3）如图2中，作HM⊥AB于M．先证明△EMH≌△FBE，推出ME=BF=x，BE=MH=AM=$\frac{x（4-x）}{4}$，由BE+EM+AM=4，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD、四边形EFGH是正方形，
∴∠B=∠C=∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠DFC=90°，∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠EFB=∠FDC，
∴△BEF∽△CFD．

（2）①∵△BEF∽△CFD，
∴$\frac{BF}{CD}$=$\frac{BE}{CF}$，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{BE}{4-x}$，
∴BE=$\frac{x（4-x）}{4}$．

②不能．理由：由$\frac{x（4-x）}{4}$=$\frac{3}{2}$，整理得x²-4x+6=0，
∵△=16-24=-8＜0，
∴方程无解，
∴BE的长不可能是$\frac{3}{2}$．

（3）如图2中，作HM⊥AB于M．

∵AH平分∠BAD，
∴∠HAM=∠HAD=45°，
∴△AMH是等腰直角三角形，
∴AM=MH，
∵∠MEH+∠BEF=90°，∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠MEH=∠BFE，∵BH=EF，∠HME=∠B=90°，
∴△EMH≌△FBE，
∴ME=BF=x，BE=MH=AM=$\frac{x（4-x）}{4}$，
∵BE+EM+AM=4，
∴$\frac{x（4-x）}{4}$+x+$\frac{x（4-x）}{4}$=4，
整理得x²-6x+8=0，解得x=2或4（舍弃）．
∴BF=2，CF=BC-BF=4-2=2．

点评 本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．