Question

19．观察下列有规律的数：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{30}$，$\frac{1}{42}$…
根据规律可知：
（1）第8个数是$\frac{1}{72}$；
（2）$\frac{1}{132}$是第11个数；
（3）计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+…+$\frac{1}{199×200}$．

Answer 1

分析 （1）以上分子均为1，分母是序数与序数加1的乘积，据此可得；
（2）根据（1）可知第n个数为$\frac{1}{n（n+1）}$，列方程求解可得；
（3）由$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$列项相消求解可得．

解答 解：（1）∵第1个数$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$，
第2个数$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}$，
第3个数$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$，
…
∴第8个数为$\frac{1}{8×9}$=$\frac{1}{72}$，
故答案为：$\frac{1}{72}$；

（2）由（1）知第n个数为$\frac{1}{n（n+1）}$，
由题意知n（n+1）=132，
解得n=11或n=-12（舍），
即$\frac{1}{132}$是第11个数，
故答案为：11；

（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{200}$=1-$\frac{1}{200}$=$\frac{199}{200}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意掌握数列的分子均为1，分母是序数与序数加1的乘积是解题的关键．