Question

3．如图，点A的坐标为（-8，0），点P的坐标为$（{-\frac{7}{4}，0}）$，直线y=$\frac{3}{4}$x+b过点A，交y轴于点B，以点P为圆心，以PA为半径的圆交x轴于点C．
（1）判断点B是否在⊙P上？说明理由．
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；并求抛物线与⊙P另外一个交点为D的坐标．
（3）⊙P上是否存在一点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-8，0）代入y=$\frac{3}{4}$x+b得到点B（0，6），即OB=6，根据勾股定理即可得到结论；
（2）AC=2PA=$\frac{25}{2}$，则OC=$\frac{9}{2}$，点C$（{\frac{9}{2}，0}）$，得到抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{7}{12}$x+6，直线x=$-\frac{7}{4}$是抛物线和圆P的对称轴，于是得到结论；
（3）当点Q在⊙P上时，有PQ=PA=$\frac{25}{4}$，如图1所示，假设AB为菱形的对角线，如图2所示，假设AB、AP为菱形的邻边，如图3所示，假设 AB、BP为菱形的邻边，于是得到结论．

解答 解：（1）∵A（-8，0）在直线y=$\frac{3}{4}$x+b上，则有b=6，
∴点B（0，6），即OB=6，
在Rt△BOP中，由勾股定理得PB=$\sqrt{O{P^2}+O{B^2}}=\frac{25}{4}$，则PB=PA，
∴点B在⊙P上；
（2）AC=2PA=$\frac{25}{2}$，则OC=$\frac{9}{2}$，点C$（{\frac{9}{2}，0}）$，
抛物线过点A、C，则设所求抛物线为y=a（x+8）（x-$\frac{9}{2}$），代入点C$（{\frac{9}{2}，0}）$，则有a=$-\frac{1}{6}$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{7}{12}$x+6，
直线x=$-\frac{7}{4}$是抛物线和圆P的对称轴，点B的对称点为D，由对称可得D$（{-\frac{7}{2}，6}）$；
（3）当点Q在⊙P上时，有PQ=PA=$\frac{25}{4}$，
如图1所示，假设AB为菱形的对角线，那么PQ⊥AB且互相平分，由勾股定理得PE=$\frac{15}{4}$，则2PE≠PQ，所以四边形APBQ不是菱形．
如图2所示，假设AB、AP为菱形的邻边，则AB≠AP，所以四边形APQB不是菱形．
如图3所示，假设 AB、BP为菱形的邻边，则AB≠BP，所以四边形AQPB不是菱形．
综上所述，⊙P上不存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，菱形 的判定定理，对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．