Question

⊙O₁与⊙O₂的半径为r₁、r₂（r₁＞r₂），连心线O₁O₂的中点为D，且O₁O₂上有一点H，满足2DH•O₁O₂=r₁²-r₂²，过H作垂直于O₁O₂的直线l，证明直线l上任一点M向两圆所引切线长相等．（两圆相离）

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,圆与圆的位置关系

专题：证明题

分析：过直线l上任一点M向⊙O₁和⊙O₂引切线MN、ME，切点分别为N、E，如图，连接O₁N，O₁M，MO₂，O₂E，根据切线的性质得O₁N⊥MN，在Rt△O₁NM，利用勾股定理得MN²=O₁M²-O₁N²，在Rt△O₁MH，利用勾股定理得O₁M²=MH²+O₁H²，则MN²=MH²+O₁H²-r₁²=，由于O₁H=

1

2

O₁O₂+DH，所以MN²=MH²+（

1

2

O₁O₂+DH）²-r₁²，
同理可得ME²=MH²+（

1

2

O₁O₂-DH）²-r₂²，则MN²-ME²=O₁H²-r₁²=2O₁D•DH-r₁²+r₂²，然后利用2DH•O₁O₂=r₁²-r₂²即可得到MN=ME．

解答：证明：过直线l上任一点M向⊙O₁和⊙O₂引切线MN、ME，切点分别为N、E，如图，
连接O₁N，O₁M，MO₂，O₂E，
∵MN为⊙O₁的切线，
∴O₁N⊥MN，
在Rt△O₁NM，MN²=O₁M²-O₁N²，
在Rt△O₁MH，O₁M²=MH²+O₁H²，
∴MN²=MH²+O₁H²-r₁²=MH²+（O₁D+DH）²-r₁²=MH²+（

1

2

O₁O₂+DH）²-r₁²，
同理可得ME²=MH²+（

1

2

O₁O₂-DH）²-r₂²，
∴MN²-ME²=O₁H²-r₁²=2O₁D•DH-r₁²+r₂²，
∵2DH•O₁O₂=r₁²-r₂²，
∴MN²-ME²=0，
∴MN=ME，
即直线l上任一点M向两圆所引切线长相等．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和圆与圆的位置关系．