Question

如图，在等边△ABC中，E在BC的延长线上，CF平分∠ACE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ．若AP=PQ，求∠APQ是多少度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：在CF上截取CQ′=BP，根据等边三角形的性质，得出AB=AC=BC，∠B=∠ACB=60°，然后根据SAS求得△ABP≌△ACQ′，得出△PAQ′是等边三角形，从而证得Q′和Q是同一点，即可求得∠APQ=60°．

解答：解：在CF上截取CQ′=BP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACE=120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACQ=60°=∠B，
在△ABP与△ACQ′中，

AB=AC ∠ACQ′=∠B=60° BP=CQ′

∴△ABP≌△ACQ′（SAS），
∴AP=AQ′，∠BAP=∠CAQ′，
∴∠CAQ′+∠PAC=∠BAP+∠PAC=60°
即∠PAQ′=60°，
∴△PAQ′是等边三角形，
∴AP=PQ′，∠APQ′=60°
∵AP=PQ，
∴PQ=PQ′，
∴Q′和Q是同一点，
∴∠APQ=60°．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，证得Q′和Q是同一点，是本题的关键．