Question

【题目】已知的半径为，的半径为，以为圆心，以的长为半径画弧，再以线段的中点P为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点A，连接，，交于点B，过点B作的平行线交于点C．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）过点O2作O2D⊥BC，交BC于点D，根据作图过程可得AP=O1P=O2P，利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明AO2⊥AO1，再根据BC∥AO2，证明四边形ABDO2为矩形，得到O2D=，点D在圆O2上，可得结论；

（2）证明△AO1O2∽△BO1C，求出O1C，利用△BO1C的面积减去扇形BO1E的面积即可.

解：（1）由作图过程可得：

AP=O1P=O2P=O1O2，AO1=AB+BO1=，

∴∠PAO1=PO1A，∠PAO2=∠PO2A，AB=，

而∠PAO1+∠PO1A+∠PAO2+∠PO2A=180°，

∴∠PAO1+∠PAO2=90°，即AO2⊥AO1，

∵BC∥AO2，

∴O1B⊥BC，即BC与圆O1相切，

过点O2作O2D⊥BC，交BC于点D，

可知四边形ABDO2为矩形，

∴AB=O2D=，而圆O2的半径为，

∴点D在圆O2上，

即BC是的切线；

（2）∵AO2∥BC，

∴△AO1O2∽△BO1C，

∴，

∵，，，

即AO1==3，BO1=2，

∴，

∴O1C=4，

∵BO1⊥BC，

∴cos∠BO1C=，

∴∠BO1C=60°，

∴BC=，

∴S阴影=-

=

=